Sistema
de numeración binario.
El sistema de
numeración binario utiliza sólo dos dígitos, el cero (0) y el uno
(1).
En una cifra binaria,
cada dígito tiene distinto valor dependiendo de la posición que ocupe. El valor
de cada posición es el de una potencia de base 2, elevada a un exponente
igual a la posición del dígito menos uno. Se puede observar que, tal y como
ocurría con el sistema decimal, la base de la potencia coincide con la cantidad
de dígitos utilizados (2) para representar los números.
De acuerdo con estas
reglas, el número binario 1011 tiene un valor que se calcula así:
1*23
+ 0*22 + 1*21 + 1*20 , es decir:
8 +
0 + 2 + 1 = 11
y para expresar que
ambas cifras describen la misma cantidad lo escribimos así:
Conversión
entre números decimales y binarios
Convertir un número
decimal al sistema binario es muy sencillo: basta con realizar divisiones
sucesivas por 2 y escribir los restos obtenidos en cada división en
orden inverso al que han sido obtenidos.
Por ejemplo, para
convertir al sistema binario el número 7710 haremos una serie
de divisiones que arrojarán los restos siguientes:
77 : 2 = 38
Resto: 1
38 : 2 = 19
Resto: 0
19 : 2 = 9
Resto: 1
9 : 2 = 4
Resto: 1
4 : 2 = 2
Resto: 0
2 : 2 = 1
Resto: 0
1 : 2 = 0
Resto: 1
y, tomando los restos
en orden inverso obtenemos la cifra binaria:
7710
= 10011012
La cantidad de
dígitos necesarios para representar un número en el sistema binario es mayor
que en el sistema decimal. En el ejemplo del párrafo anterior, para representar
el número 77, que en el sistema decimal está compuesto tan sólo por dos
dígitos, han hecho falta siete dígitos en binario.
Para representar
números grandes harán falta muchos más dígitos. Por ejemplo, para representar
números mayores de 255 se necesitarán más de ocho dígitos, porque 28
= 256 y podemos afirmar, por tanto, que 255 es el número más grande que puede
representarse con ocho dígitos.
Como regla general,
con n dígitos binarios pueden representarse un máximo de 2n,
números. El número más grande que puede escribirse con n dígitos es
una unidad menos, es decir, 2n – 1. Con cuatro bits,
por ejemplo, pueden representarse un total de 16 números, porque 24
= 16 y el mayor de dichos números es el 15, porque 24-1
= 15.
El proceso para
convertir un número del sistema binario al decimal es aún más sencillo; basta
con desarrollar el número, teniendo en cuenta el valor de cada dígito en su
posición, que es el de una potencia de 2, cuyo exponente es 0 en el bit situado
más a la derecha, y se incrementa en una unidad según vamos avanzando
posiciones hacia la izquierda.
Por ejemplo, para
convertir el número binario 10100112 a decimal, lo
desarrollamos teniendo en cuenta el valor de cada bit:
1*26
+ 0*25 + 1*24 + 0*23 + 0*22 + 1*21
+ 1*20 = 83
10100112
= 8310
Ejercicio 4:
Expresa, en el sistema decimal, los siguientes números
binarios:
110111, 111000, 010101, 101010, 1111110
110111, 111000, 010101, 101010, 1111110